MEM-271 Διαφορικές Εξισώσεις

Κατεύθυνση	Μαθηματικών	Εφαρμοσμένων Μαθηματικών
Είδος	Υποχρεωτικό
Έτος/εξάμηνο	2ο / Εαρινό
ECTS/Διδακτικές μονάδες	7 / 5
Ώρες διαλέξεων/εργαστηρίων	4 / 2
Προαπαιτού­μενα μαθήματα	MEM-101
Συνιστώμενα μαθήματα	Κανένα
Μέθοδος διδασκαλίας	Διαλέξεις, εργαστήριο προβλημάτων
Μέθοδος αξιολόγησης	Τελική εξέταση, εξετάσεις προόδου

Μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές θα είναι σε θέση:

• Να αναγνωρίζουν διαφορετικούς τύπους συνήθων διαφορικών εξισώσεων και να εφαρμόζουν κατάλληλες τεχνικές για την εύρεση της λύσης τους.
• Να αναγνωρίζουν διαφορετικούς τύπους διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους.
• Να κατανοούν τις σειρές Fourier συναρτήσεων και να είναι σε θέση να βρίσκουν τη λύση προβλημάτων αρχικών τιμών και συνοριακών συνθηκών για γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές.

Περιεχόμενο

• Μέρος Ι: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις.
  • Εισαγωγή με παραδείγματα από διάφορες επιστημονικά πεδία.
  • Εξισώσεις χωριζομένων μεταβλητών και εξισώσεις που ανάγονται σε αυτές.
  • Πλήρεις εξισώσεις. Ολοκληρωτικός παράγοντας.
  • Γραμμικές εξισώσεις πρώτης τάξης και εξισώσεις που ανάγονται σε αυτές (Bernoulli, Riccati).
  • Γραμμικές εξισώσεις ανώτερης τάξης, γενική λύση. Γραμμικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές ανώτερης τάξης, εξίσωση Euler.
  • Μη ομογενείς γραμμικές εξισώσεις, μέθοδος μεταβαλλόμενων σταθερών, μέθοδος προσδιοριζόμενων συντελεστών.
  • Γραμμικά συστήματα πρώτης τάξης και εφαρμογές τους.
  • Mελέτη γραμμικών συστημάτων δύο εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές. Εύρεση της αναλυτικής λύσης, διαγράμματα φάσεων, ασυμπτωτική συμπεριφορά.
• Μέρος ΙΙ: Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους με δυο ανεξάρτητες μεταβλητές.
  • ΙΙ.1 Εισαγωγή με παραδείγματα από διάφορα επιστημονικά πεδία.
  • ΙΙ.2 Εξισώσεις πρώτης τάξης.
  • Ταξινόμηση εξισώσεων δεύτερης τάξης.
  • Κυματική εξίσωση, πρόβλημα Cauchy, τύπος d’Alembert.
  • Σειρές Fourier (βασικές έννοιες).
  • Μέθοδος Fourier για την εξίσωση θερμότητας, συνθήκες Dirichlet και Neumann
  • Μέθοδος Fourier για την κυματική εξίσωση, συνθήκες Dirichlet και Neumann
  • Μέθοδος Fourier για την εξίσωση Laplace.

Συνιστώμενη βιβλιογραφία

• W. E. Boyce και R. C. Di Prima, Στοιχειώδεις Διαφορικές Εξισώσεις και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις ΕΜΠ. ISBN: 978-960-254-701-4.
• Α. Τερσένοβ, Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις, Πανεπιστήμιο Κρήτης, 2017. (Σημειώσεις)

Περιγράμματα μαθημάτων

• MEM-271 Διαφορικές Εξισώσεις, Κατεύθυνση Μαθηματικών
• MEM-271 Διαφορικές Εξισώσεις, Κατεύθυνση Εφαρμοσμένων Μαθηματικών