MEM-213 Μιγαδική Ανάλυση

Κατεύθυνση	Μαθηματικών	Εφαρμοσμένων Μαθηματικών
Είδος	Επιλογής Κορμού (Κ1)	Επιλογής Κορμού
Έτος/εξάμηνο	3ο ή 4ο / Χειμερινό
ECTS/Διδακτικές μονάδες	8 / 4
Ώρες διαλέξεων/εργαστηρίων	4 / 0
Προαπαιτού­μενα μαθήματα	Κανένα
Συνιστώμενα μαθήματα	MEM-100, MEM-101, MEM-105, MEM-108, MEM-212
Μέθοδος διδασκαλίας	Διαλέξεις
Μέθοδος αξιολόγησης	Τελική εξέταση, εξετάσεις προόδου

Μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές θα είναι σε θέση:

• Να αναγνωρίζουν ανοικτά, κλειστά, συμπαγή και συνεκτικά σύνολα στο μιγαδικό επίπεδο.
• Να χειρίζονται επικαμπύλια ολοκληρώματα και να υπολογίζουν τον δείκτη στροφής καμπύλης.
• Να αποδεικνύουν την παραγωγισιμότητα συνάρτησης βάσει των εξισώσεων Cauchy-Riemann.
• Να υπολογίζουν κλάδους λογαρίθμου και ριζών.
• Να κατανοούν και να χειρίζονται τα βασικά θεωρήματα για αναλυτικές συναρτήσεις.
• Να διακρίνουν τις μεμονωμένες ανωμαλίες αναλυτικών συναρτήσεων και να τις χρησιμοποιούν για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων με χρήση ολοκληρωτικών υπολοίπων.
• Να κατανοούν τις αποδείξεις των βασικών θεωρημάτων και να λύνουν ασκήσεις θεωρητικής υφής.

Περιεχόμενο

• Τοπολογία τού μιγαδικού επιπέδου. Το σημείο “άπειρο”. Ακολουθίες. Όριο ακολουθίας και βασικές ιδιότητες ορίων. Εσωτερικά, οριακά και συνοριακά σημεία συνόλου. Ανοικτά και κλειστά σύνολα. Συμπαγή σύνολα. Συνεκτικά σύνολα.
• Όριο και συνέχεια συνάρτησης. Συνέχεια και συμπάγεια. Συνέχεια και συνεκτικότητα.
• Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μιγαδικής συνάρτησης.
• Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης και εξισώσεις Cauchy-Riemann. Αναλυτικές συναρτήσεις, Συμμορφία.
• Παραδείγματα αναλυτικών συναρτήσεων: πολυωνυμικές και ρητές συναρτήσεις (ειδικώτερα οι γραμμικοί κλασματικοί μετασχηματισμοί), εκθετική συνάρτηση, κλάδοι του λογαρίθμου, ακέραιες δυνάμεις, κλάδοι ριζών.
• Το θεώρημα Cauchy για τρίγωνα. Παράγουσες. Το γενικό θεώρημα Cauchy σε αστρόμορφα (ή κυρτά) χωρία. Σύνδεση με το θεώρημα του Green για διανυσματικά πεδία στο επίπεδο. Δείκτης στροφής καμπύλης ως προς σημείο. Οι τύποι του Cauchy για παραγώγους σε αστρόμορφα (ή κυρτά) χωρία και η άπειρη παραγωγισιμότητα μίας αναλυτικής συνάρτησης.
• Το θεώρημα Liouville, η αρχή μεγίστου, το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, το θεώρημα Morera.
• Μιγαδικές σειρές. Ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθίας και σειράς αναλυτικών συναρτήσεων. Το κριτήριο Weierstrass. Δυναμοσειρές. Σειρά Taylor αναλυτικής συνάρτησης. Ρίζες και αρχή ταυτότητας.
• Μεμονωμένες ανωμαλίες (πόλοι και ουσιώδεις ανωμαλίες). Σειρά Laurent σε μεμονωμένη ανωμαλία. Το θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων. Εφαρμογή σε υπολογισμό ολοκληρωμάτων. Η αρχή ορίσματος και εφαρμογή σε υπολογισμό πλήθους ριζών αναλυτικής συνάρτησης.

Συνιστώμενη βιβλιογραφία

• James W. Brown, Ruel V. Churchill. Μιγαδικές Συναρτήσεις και Εφαρμογές. 2η έκδοση, ΠΕΚ, 2014.
• Stephen D. Fisher. Complex Variables. 2nѕ ed., Dover Publications, 1999.
• Joseph Bak, Donald Newman. Μιγαδική Ανάλυση. Leader Books, 2004.
• Σάββας Τερσένοβ. Αναλυτικές συναρτήσεις και μερικές εφαρμογές τους. Δίαυλος Α.Ε., 1998.

Περιγράμματα μαθημάτων

• MEM-213 Μιγαδική Ανάλυση, Κατεύθυνση Μαθηματικών
• MEM-213 Μιγαδική Ανάλυση, Κατεύθυνση Εφαρμοσμένων Μαθηματικών